1.4 Need for a Probabilistic Analysis

출처: https://web.mit.edu/urban_or_book/www/book/chapter1/1.4.html

UOR_1.4

* 공부하며 번역한 내용입니다. 오역이 있다면 알려주세요. 감사합니다.

Most urban services face uncertainties related to time of occurrence, type, location, and quantity of demands.
대부분 도시 서비스는 언제, 어떻게, 어디서, 어느 정도로 필요한지 예측하기 힘들다.
Considering an individual household, for instance, the amount of refuse it generates, the amount of mail it sends and receives, its need for emergency assistance (from police, fire, ambulance, or emergency repair services), and its use of public and private transit facilities fluctuate from day to day.
예를들면, 어떤 가구에서 발생하는 쓰레기량, 우편물 송수신량, 긴급 지원(경찰, 소방, 구급차, 긴급 수리 서비스 등)의 필요성, 공공 및 민간 대중교통 시설의 사용량은 매일 달라진다.
True, there are regular statistical patterns that allow us to predict reliably the percentage of transit riders that will use a system between, say, 5:00 and 6:00 P.m., or the fraction of a city's refuse that will be generated from a particular neighborhood over the course of a year.
일정부분 통계적으로 유의미한 패턴은 존재한다. 오후 5시부터 6시 사이에 교통량, 한 해에 특정 지역에서 발생하는 쓰레기량의 패턴등이 있다.
But the exact time and location of any particular demand for service, unlike scheduled arrivals at a doctor's office, cannot be predicted.
하지만, 정확히 언제 어디서 어떤 서비스를 요구할지는, 예약된 진료시간에 병원을 방문하는 것과 달리 예측하기 어렵다.
Such uncertainties can cause system congestion even when, on the average, there is sufficient system capacity to handle demands.
이러한 불확실성은 이론상 충분한 시스템 능력을 가지고 있더라도 갑작스러운 시스템 마비를 불러일으킬 수 있다.

 

The need for a probabilistic analysis can be illustrated by a simple example.
확률분석이 필요한 이유는 간단한 예제로 확인할 수 있다.
Suppose that calls for emergency ambulance service are generated from within a community at an average rate of one per hour.
만약, 한 동네에서 119 신고가 평균적으로 한 시간에 한 건 발생한다고 가정해보자.
For simplicity, we assume that all calls are serviced by the city's single ambulance, which is stationed at the city's hospital.
간단히 하기 위해 그 도시의 응급 환자는 한 대의 앰뷸런스가 병원으로 이송한다고 가정하자.
Any calls that occur while the ambulance is busy on a previous call are entered into a queue that is depleted in a firstcome, first-served manner.
앰뷸런스가 다른 환자를 병원으로 이송하는 중에 어떤 응급 신고가 걸려온다면, 방금 걸려온 응급 전화는 얼마나 응급한 환자이든 관계 없이 이전 응급 신고를 처리할 때까지 기다릴 수 밖에 없다.
In addition, let us assume that the average time to service each call (i.e., the travel time to the scene, on-scene service time, travel time back to the hospital) is 1/2 hour and the standard deviation is hour.
또한 하나의 응급 신고를 완료하는 데 걸리는 시간 (응급 환자를 이송하기 위해 방문하는 시간, 응급 환자를 구급차에 싣는 시간, 병원으로 이송하는 시간) 이 평균은 30분, 표준분포는 한시간이라고 가정했을 때, 아래와 같다.

$$ \sqrt{2}/4 \approx 0.354 $$

In this illustrative example we are ignoring complications due to meal breaks, serious accidents requiring multiple ambulances, and possible time-varying demand rates.
수치적으로만 접근하면, 우리가 겪을 수 있는 다양한 변수들을 간과할 수 있다. 예를 들면, 점심 시간으로 인한 교통체증, 다수의 앰뷸런스가 필요한 대형 교통 사고 등이 있다.

 

Now, deterministic reasoning, which is not uncommon in present planning procedures, argues that this ambulance is not overloaded because it is busy on ambulance runs only 4 hours out of each 8-hour tour of duty.
현재에는 잘 사용되지 않지만, 결정론적 추론 방법은 앰뷸런스가 8시간 운영 중 4시간만 응급 환자를 이송하는 데 사용되고 있기 때문에 문제가 발생하지 않는다고 주장한다.
After all, the unit is being utilized at only one-half "capacity."
즉, 근무시간의 반만 사용되기 때문에 이미 충분하다고 주장한다.
The same reasoning argues that since the ambulance services calls twice as fast as they arrive, any queueing delay incurred by arriving calls should be negligibly small.
비슷한 논리로, 응급 전화가 발생시키는 시간 지연은 앰뷸런스가 실제로 도착하는 것 보다 2배 빠르기 때문에, 이로인해 발생하는 시간 지연은 거의 없다고 주장한다.
Finally, using deterministic arguments, one should expect the number of calls generated during any 8-hour tour to be very close to the average, eight.
마지막으로, deterministic reasoning 입장에서는 8시간 동안 받는 응급 전화는 8개 정도일 것이라고 주장한다.

 

Switching to probabilistic arguments, it has been found that the generation of emergency calls in a city can be accurately modeled by the Poisson process, a random process to be reviewed in Chapter 2.
하지만, 확률론자 입장에서 본다면, 응급 전화 발생량은 Poisson 분포 (Chapter 2 random process) 에 따른다는 것을 알아낼 수 있다. 
The Poisson process arises when specific postulates governing microscopic system behavior are satisfied.
Poisson 분포는 어떤 가정이 미시 시스템 행동에 영향을 줄 때 발생한다.
Nearly all of those apply to urban emergency services.
거의 모든 도시에서 응급 서비스는 Poisson 분포를 따른다. 
Given the Poisson assumptions, the number of ambulance calls that occur during any particular 8-hour tour is a random variable with the Poisson probability mass function,
Poisson 분포에 따르면, 8시간 동안 발생할 수 있는 응급 전화의 수는 Poisson probability mass function을 따르는 random 변수로 추정할 수 있다. 

$$P{(n)}=8^ne^{-8}/{n!}\quad\quad n=0, 1, 2, ...$$

This distribution is plotted in Figure 1.2.
해당 분포는 Figure 1.2에서 확인할 수 있다.

The probability of exactly eight calls arriving during a tour is only 0.1396. or nearly 20 percent of the tours, the number of calls will be less than or equal to five, and for another almost 20 percent of the tours, the number of calls will be greater than or equal to eleven.
8시간 동안 정확하게 8개의 신고전화가 걸려올 확률은 0.1396밖에 되지 않고, 5개 이하일 경우는 평균 20% 밖에 되지 않는다. 11건 이상의 응급 전화가 걸려올 확률은 20%에 달했다.
Thus, in an average 5-day workweek, the typical random fluctuations in the Poisson process will generate one "light-workload" day (n ‹ 5) and one "heavy-workload" day (n ~~ 11). 
따라서, 일주일 간 5일간의 근무일수 동안 하루는 5건 이하의 신고전화가 들어오고, 하루는 11건 이상의 신고전화가 들어올 수 있는 확률이 있다.
But few weeks are precisely average, as some will have several light-workload days, others several heavy-workload days. 
하지만, 8건에 가까운 평균 신고가 걸려온 주들은 거의 없었고, 몇 주는 5건 이하, 그리고 나머지 몇주는 11건 이상의 전화가 걸려왔다.
True, the average workload per tour, measured in hours required to service calls, is 4 hours. But one can show that there is considerable dispersion about this average, as measured by a standard deviation of hours.
사실, 하루 평균 신고 건수에 따른 실 근무 시간은 4시간이다. 하지만, 여기에는 상당한 편차가 존재한다. 

$$\sqrt{3}\approx 1.73$$

Finally, using M/G/ I queueing theory (Chapter 4), one finds that fully 50 percent of the calls arrive while the ambulance is busy and thus have to be stacked in the queue; the average time spent in the queue by these calls is 45 minutes, reflecting a truly congested system.
마지막으로, M/G/I queueing theory (Chapter 4)에 따르면, 50% 신고 전화가 앰뷸런스가 다른 신고를 처리하고 있을 때 발생하여 기다릴 수 밖에 없다는 것을 알 수 있었다; 평균 대기 시간은 45분이 소요되었다.
These insights illustrate the usefulness of a probabilistic analysis.
이렇듯, 통계적 분석의 필요성을 알 수 있다.

 

To implement the results of a probabilistic analysis, it is necessary that operational objectives be stated in compatible terms.
통계 분석을 적용하기 위해서는 분석 목표를 정량적으로 정의할 필요성이 있다.
For instance, the following statements exhibit probabilistic points of view:
예를들면, 아래의 문장은 통계적인 관점을 잘 보여준다.
"Allocate sufficiently many ambulances so that 85 percent of emergency calls for ambulances can be answered without queueing delay," or "so that the average travel time to ambulance calls is 5 minutes."
"가능한 충분한 앰뷸런스를 배치하여 85%의 앰뷸런스가 대기시간 없이 바로 배차될 수 있도록 조치하기." 또는, "앰뷸런스가 도착하는 데 걸리는 시간이 5분 이내가 되기."
Although such explicit target levels for performance may be difficult to state (see Chapter 8), operating systems reveal implicit decisions that could be quite unacceptable if made clear to an agency administrator.
비록, 명확한 목표지점을 세우기 힘들 수 있다 (Chapter 8). 운영 시스템은 운영자에게 명시하는 경우 동의하기 어려운 암묵적인 결정들을 드러냅니다.

 

We are now ready to begin our tour of models and methods for the analysis of urban service systems.
우리는 도시 서비스 시스템을 분석할 방법과 모델을 알아볼 준비가 되었습니다.
Given the central role of uncertainty in the operation of these systems, our first concern deals with the fundamentals of probabilistic modeling.
이러한 시스템 운영에서 불확실성의 중심적인 역할을 고려할 때, 첫 번째 관심사는 확률론적 모델링의 기초를 다룹니다.